Intégration

Rq : La dérivée de la fonction $x\mapsto ln(x)$ est la fonction $x\mapsto\frac{1}{x}$ .

1 Bac 2009

Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ . On s'intéresse dans ce problème à une fonction définie sur l'ensemble des réels $\mathbb{R}$ . On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction dans le repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ .

Soit la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=2e^{x}+x^{2}+3x$ .

{Rq : Une grande partie du sujet original consiste à étudier et à tracer $\mathcal{C}$ , en prenant comme unité graphique 2 cm.} (le graphique suivant n'est pas à l'échelle)

$\includegraphics[height=8cm]{bac2009}$

Hachurer sur la feuille annexe la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation et $x=\frac{1}{2}$ .
Calculer la mesure exacte, en unités d'aire, de l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan hachurée précédemment.
En déduire, en $cm^{2}$ , la mesure arrondie au centième de l'aire $\mathcal{A}$ .

2 Bac 2007

Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ d'unité graphique 2 cm. On s'intéresse dans ce problème à une fonction définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ . On note la courbe représentative de la fonction dans le plan . On note la fonction logarithme népérien.

Pour tout nombre réel appartenant à l'intervalle $]0;+\infty[$ ,

$f(x)=x-1-\frac{ln(x)}{x}$ .

On note la mesure, exprimée en $cm^{2}$ , de l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations et .

On considère la fonction définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par

$H(x)=(ln(x))^{2}$ . On désigne par la fonction dérivée de la fonction .

Calculer pour tout réel appartenant à l'intervalle $]0;+\infty[$ .
En déduire une primitive de la fonction sur l'intervalle $]0;+\infty[$ .
Calculer .
Donner la valeur de arrondie au $mm^{2}$ .

3 Bac 2010

On considère la fonction définie sur l'intervalle par

$f(x)=4ln(x)+x^{2}-2x+1+\frac{4}{x}$ .

Soit sa courbe représentative dans un repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ du plan.

On appelle $\Omega$ l'hyperbole d'équation $y=\frac{4}{x}$ .

On considère la fonction définie sur l'intervalle par : . Montrer que H est une primitive de la fonction sur l'intervalle .
Calculer l'aire du domaine compris entre la courbe , la courbe $\Omega$ et les droites d'équations respectives $x=\frac{1}{2}$ et . Le résultat sera donné en unités d'aire.

Integration

Intégration

1 Bac 2009

2 Bac 2007

3 Bac 2010